Author: Rain(2385689419@qq.com)

1547G How Many Paths 题解（C++）

题意重述

给定一个有向图，起点固定为 1。

对于每个点 v，需要判断从 1 到 v 的路径数量属于下面哪一种：

• 0：一条路径也没有
• 1：恰好一条路径
• 2：路径多于一条，但总数有限
• -1：路径有无穷多条

注意：

• 图里允许有环
• 图里允许有自环
• 但不存在重边

题目的难点不在于“数路径”，而在于区分：

1. 多条但有限
2. 无穷多条

这两类不能混在一起处理。

先想清楚：为什么会出现无穷多条路径？

只有一种原因：

从 1 出发，能走进某个环，然后还能从这个环走到目标点。

一旦满足这个条件，我们就可以在环里多绕任意多圈，再离开去目标点，于是路径数就是无穷。

所以整道题本质上分成两步：

1. 找出哪些点的答案一定是 -1
2. 对剩下的点统计“有限路径数量”，但只需要区分 0 / 1 / 大于 1

核心思路总览

算法分成 4 步：

1. 从 1 出发做一次遍历，只保留 可达点
2. 在可达子图里做 强连通分量（SCC）分解
3. 找出所有“含环 SCC”，并从这些点继续向外传播，标记答案为 -1
4. 删除这些 -1 点后，剩余图一定是 DAG，在 DAG 上做一次路径 DP

第一步：只关心从 1 可达的部分

很多环可能根本到不了，自然不会影响答案。

Published on 2026-05-30 at Rain's Blog, last modified on 2026-05-30